Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
trova le equazioni delle rette passanti per \(P(16,6,6)\) perpendicolari e incidenti alle rette di equazioni \[r:\left\{ \begin{array}{lll} x=4+3t \\ y=-2t-3 \\ z=3t \end{array} \right.\quad\quad s:\left\{ \begin{array}{lll} x=t+8 \\ y=2t \\ z=-5+3t \end{array} \right.\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la retta \(r\) ha coefficienti direttivi \(3\), \(-2\), \(3\), quindi un suo generico punto \(Q(4+3t;-3-2t;3t)\) definisce con \(P\) una retta perpendicolare e incidente a \(r\) se e solo se \[3\left( 12-3t \right)-2\left( 9+2t \right)+3\left( 6-3t \right)=0\to t=\frac{18}{11}\] da cui i coefficienti direttivi della retta \(t\) perpendicolare a \(r\), \(\frac{78}{11}\), \(\frac{135}{11}\), \(\frac{12}{11}\), e la sua equazione: \[t:\left\{ \begin{array}{lll} x=16+\frac{78}{11}t \\ y=6+\frac{135}{11}t \\ z=6+\frac{12}{11}t \end{array} \right.\]
In modo analogo si ottiene la perpendicolare \(n\) a \(r\) passante per \(P\) e incidente con \(r\):
\[n:\left\{ \begin{array}{lll} x=16+\frac{7}{2}t \\ y=6-\frac{11}{7}t \\ z=6-\frac{2}{7}t \end{array} \right.\]
Massimo Bergamini