Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti a risolvere questa equazione differenziale:
\[\left\{ \begin{array}{lll} 4y’+4y-x^2=0 \\ y(0)=-1 \\ y’(0)=\frac{1}{2} \end{array} \right.\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
si tratta di un’equazione lineare ordinaria del primo ordine, la cui soluzione generale è la somma della soluzione generale dell’omogenea associata \(4y’+4y-x^2=0\) e di una soluzione particolare \(\bar{y}\left( x \right)\): in quanto equazione lineare del 1° ordine, trovo strano che il problema di Cauchy ponga due condizioni iniziali, sia su \(y(0)\) che sulla derivata \(y’(0)\), che potrebbero non essere soddisfatte entrambe, quando ne basterebbe una per determinare univocamente una soluzione… Comunque sia, poiché il polinomio caratteristico associato all’omogenea si riduce a \(t+1=0\), cioè \(t=-1\), la soluzione generale dell’omogenea è \[{{y}_{0}}\left( x \right)=c{{e}^{-x}},\quad c\in \mathbb{R}\] mentre un integrale particolare, per somiglianza col termine noto \(x^2\), può essere ricercato tra polinomi del tipo \(ax^2+bx+c\): \[y=a{{x}^{2}}+bx+c\to {y}'=2ax+b\to \] \[\to 4{y}'+4y=4a{{x}^{2}}+4\left( 2a+b \right)x+4\left( c+b \right)\to \] \[\to 4{y}'+4y={{x}^{2}}\leftrightarrow a=\frac{1}{4},b=-\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}\to \] \[\to \bar{y}\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\quad .\]
In conclusione, la soluzione generale dell’equazione è: \[y\left( x \right)={{y}_{0}}\left( x \right)+\bar{y}\left( x \right)=c{{e}^{-x}}+\frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\quad c\in \mathbb{R}\] ma il problema di Cauchy (ammesso che l’equazione sia proprio quella indicata!…), così come è posto, non ammette soluzione: se infatti imponiamo \(y(0)=-1\), abbiamo per la costante \(c\) il valore \(c=-\frac{3}{2}\), se invece imponiamo la condizione \(y’(0)=\frac{1}{2}\), abbiamo per \(c\) il valore \(c=-1\)!
Massimo Bergamini