Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Egregio professore,
non riesco a completare il seguente esercizio (n.271, pag,1819, vol.V, Matematica.blu 2.0):
Nelle funzioni di equazione
\[y={{a}^{2}}{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+\frac{5}{a}\quad \left( a\ne 0 \right)\quad :\]
a) studia al variare di \(a\) gli estremanti e i flessi e verifica che esiste un solo punto di flesso, che è sempre punto medio del segmento che congiunge i punti di massimo e di minimo;
b) determina il luogo \(\lambda\) descritto dai punti estremanti e il luogo \(\lambda ‘\) descritto dai punti di flesso al variare di \(a\);
c) trova per quali valori di \(a\) si ha la funzione \(\gamma_1\) che ha il minimo nel punto \(A\) di ordinata \(\frac{1}{2}\) e la funzione \(\gamma_2\) che ha il massimo in \(B\) di ordinata \(-1\). Calcola la distanza tra \(A\) e \(B\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
posto che la derivata della funzione polinomiale di \(3^\circ\) grado è \(y’=3{{a}^{2}}{{x}^{2}}-6a{{x}}=3ax(ax-2)\), gli estremanti si possono trovare solamente nei punti di ascissa \(x=0\) e \(x=\frac{2}{a}\): osservando che, se \(a>0\) si ha \(y’>0\) per \(x<0\;\vee\;x>\frac{2}{a}\), il viceversa se \(a<0\), concludiamo che: \[a>0\to \max \left( 0;\frac{5}{a} \right),\min \left( \frac{2}{a};\frac{1}{a} \right);\ a<0\to \min \left( 0;\frac{5}{a} \right),\max \left( \frac{2}{a};\frac{1}{a} \right)\quad .\] Poiché \(y”=6{{a}^{2}}{{x}}-6a=6a(ax-1)\), si ha un solo punto di flesso, per \(x=\frac{1}{a}\), cioè \(\left( \frac{1}{a};\frac{3}{a} \right)\), che si verifica essere punto medio tra gli estremanti, indipendentemente da \(a\). 
Eliminando il parametro \(a\) tra le coordinate dei punti estremanti, si ottiene: per \(\left( 0;\frac{5}{a}\right) \), la retta \(x=0\), ad esclusione del punto \((0;0)\), mentre per \(\left( \frac{2}{a};\frac{1}{a} \right)\) la retta \(x=2y\), sempre escludendo l’origine: il luogo \(\lambda\) è quindi l’unione di queste due rette, \((0;0)\) escluso. Analogamente, eliminando \(a\) tra le coordinate del punto di flesso \(\left( \frac{1}{a};\frac{3}{a} \right)\), si ottiene \(\lambda ‘\), cioè la retta \(y=3a\), privata del punto \((0;0)\).
Infine, affinché il minimo si verifichi in \(A\) con ordinata \(\frac{1}{2}\), si deve avere \(\frac{1}{a}=\frac{1}{2}\), cioè \(a=2\), mentre affinché il massimo si verifichi in \(B\) con ordinata \(-1\), si deve avere \(\frac{1}{a}=-1\), cioè \(a=-1\); i punti \(A\left( 1;\frac{1}{2} \right)\) e \(B\left( -2;-1 \right)\) distano \(AB=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{5}\quad .\)
Massimo Bergamini