Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere questo problema sulla similitudine:
Un triangolo \(ABC\) ha i lati \(AC\) e \(BC\) lunghi rispettivamente \(3\) e \(2\) centimetri e l’angolo in \(C\) di \(60^\circ\).
a) Calcola il perimetro del triangolo.
b) Sul lato \(AC\) determina il punto \(E\) e sul lato \(BC\) il punto \(F\) tali che \(AE\cong FB\). Calcola la lunghezza di \(AE\) sapendo che vale la seguente relazione: \(AE^2+EF^2+FB^2+AB^2=\frac{25}{2}\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
ricordando che in un triangolo rettangolo con un angolo interno di \(60^\circ\) il cateto minore è pari a \(\frac{1}{2}\) dell’ipotenusa e il cateto maggiore a \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) volte l’ipotenusa, consideriamo il triangolo rettangolo \(CHB\) e concludiamo che \(BH=1\), \(CH=\sqrt{3}\) e \(AH=2\), per cui, applicando il teorema di Pitagora al triangolo \(ABH\), si conclude che \(AB=\sqrt{7}\) e \(2p(ABC)=5+\sqrt{7}\).
Posto \(AE\cong FB=x\), con \(0\le x\le 2\), detta \(K\) la proiezione di \(F\) su \(AC\), per la similitudine dei triangoli rettangoli \(CFK\) e \(CBH\), si ha: \[FK=\frac{\sqrt{3}\left( 2-x \right)}{2}\quad CK=\frac{\left( 2-x \right)}{2}\] da cui: \[EK=2-\frac{x}{2}\to E{{F}^{2}}=E{{K}^{2}}+F{{K}^{2}}={{x}^{2}}-5x+7\to \]\[\to A{{E}^{2}}+E{{F}^{2}}+F{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=\frac{25}{2}\leftrightarrow 6{{x}^{2}}-10x+3=0\to \]\[\to {{x}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{7}}{6}\]soluzioni entrambe accettabili.
Massimo Bergamini