Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho qualche difficolta a risolvere questi due problemi (pag.487, nn.277 e 278, Matematica.blu 2.0).
1) Le due iperboli \(\alpha\) e \(\beta\) condividono gli stessi asintoti di equazioni \(2x\pm 3y=0\), hanno i fuochi l’una sull’asse delle ascisse l’altra sull’asse delle ordinate, e sono entrambe tangenti all’ellisse \(\gamma\) di equazione \(x^2+16y^2=144\).
a) Determina le equazioni delle due iperboli.
b) Calcola l’area del quadrilatero formato dai quattro fuochi delle due iperboli.
2) Nel semipiano delle ordinate positive considera un punto generico \(P\) del ramo dell’iperbole \(\gamma\) di equazione \(16x^2-9y^2+144=0\), la sua proiezione \(H\) sull’asse \(x\) e il fuoco \(F\) dell’iperbole. Indicata con \(t\) la retta tangente a \(\gamma\) nel punto \(P\), sia \(T\) il punto in cui \(t\) incontra l’asse delle ascisse. Determina le coordinate di \(P\) affinché si abbia \(4\overline{TF}=\sqrt{17}\overline{PH}\).
Grazie
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso entrambe le iperboli hanno equazioni per le quali si ha \(b/a=2/3\): quella coi fuochi sull’asse \(x\), dovendo avere vertici in comune con l’ellisse, ha \(a=4\), e quindi \(b=8/3\), quella coi fuochi sull’asse \(y\) invece, dovendo anche’essa condividere i corrispondenti vertici con l’ellisse, ha \(b=3\), e quindi \(a=9/2\). Ne derivano le seguenti equazioni: \[\alpha :4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}=64\quad \quad \beta :4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}=-81\quad .\] Poiché i fuochi sono rispettivamente \({{F}_{\alpha }}\left( \pm \frac{4\sqrt{13}}{3};0 \right)\) e \({{F}_{\beta }}\left( 0;\pm \frac{3\sqrt{13}}{2} \right)\), l’area del rombo che ha tali fuochi come vertici è pari a \(52\).
Nel secondo caso, osserviamo innanzitutto che il ramo di iperbole in questione può vedersi come il grafico della funzione \(y=\frac{4}{3}\sqrt{9+{{x}^{2}}}\), per cui, detta \(p\) l’ascissa di un suo generico punto \(P\), questi ha coordinate \(\left( p;\frac{4}{3}\sqrt{9+{{p}^{2}}} \right)\). La retta \(t\) tangente in \(P\) al ramo di iperbole si può ricavare con la formula di sdoppiamento: \[t:-\frac{px}{9}+\frac{1}{12}\sqrt{9+{{p}^{2}}}y=1\to 4px-3\sqrt{9+{{p}^{2}}}y+36=0\] da cui le coordinate del punto \(T\), intersezione di \(t\) con l’asse \(x\): \(T\left( -\frac{9}{p};0 \right)\) . Essendo \(F(0;5)\), la condizione richiesta risulta: \[4\sqrt{25+\frac{81}{{{p}^{2}}}}=\frac{4\sqrt{17}}{3}\sqrt{9+{{p}^{2}}}\to 17{{p}^{4}}-72{{p}^{2}}-729=0\to \]\[\to {{p}^{2}}=\frac{36\pm 117}{17}\to {{p}^{2}}=9\to p=\pm 3\] cioè le possibili coordinate di \(P\) sono \[{{P}_{1}}\left( -3;4\sqrt{2} \right)\quad {{P}_{2}}\left( 3;4\sqrt{2} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini
