Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho saputo come impostare questi quesiti:
1) Fra tutte le quaterne \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) che costituiscono una progressione geometrica di ragione \(x=a_1\), trovare quella per cui è minima la somma del primo, del terzo e del quarto termine.
2) In un cerchio di raggio \(r\) è inscritto il triangolo equilatero \(ABC\). Determinare una retta parallela a un lato del triangolo sulla quale vengono intercettate le corde \(PQ\) e \(MN\) dalla circonferenza e dai lati del triangolo tali che la lunghezza \(PM+NQ\) sia massima.
3) Sapendo che la resistenza di una trave a sezione rettangolare varia con il prodotto della larghezza per il quadrato dell’altezza, determinare le dimensioni della sezione di una trave di resistenza massima che si può ricavare da un tronco cilindrico di raggio \(r\).
Grazie
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(a_1=x\), si ha \(a_2=x^2\), \(a_3=x^3\), \(a_4=x^4\), per cui la somma da rendere minima è data da \(x+x^3+x^4\): derivando e uguagliando a zero la derivata si ottiene: \[1+3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}=0\to \left( x+1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-x+1 \right)=0\to x=-1\] valore che corrisponde al minimo cercato, come si può dedurre dal segno della derivata stessa.
Nel secondo caso, posto \(x=CK\), con \(0\le x\le 3r/2\), si ha \(MK=KN=\frac{\sqrt{3}}{3}x\) e \(PK=KQ=\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( r-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui la funzione da massimizzare è \(s\left( x \right)=2\left( \sqrt{2rx-{{x}^{2}}}-\frac{\sqrt{3}}{3}x \right)\). Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ha: \[s’\left( x \right)=2\left( \frac{r-x}{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)\to\]\[\to s’\left( x \right)=0\leftrightarrow 4{{x}^{2}}-8rx+3{{r}^{2}}=0\to \] \[\to x=\frac{r}{2}\quad \vee \quad x=\frac{3r}{2}\] da cui, osservando il segno della derivata, si deduce che a \(x=\frac{r}{2}\) corrisponde il minimo cercato.
Nell’ultimo caso, dette
\(x=LE\) e \(y=OL\) le semidimensioni del rettangolo inscritto nel cerchio
sezione del del cilindro di raggio \(r\), si ha \(x^2+y^2=r^2\), da cui la funzione \(r(x)=8x(r^2-x^2)\) da massimizzare: \[r’\left( x \right)=8{{r}^{2}}-24{{x}^{2}}=0\to x=\frac{\sqrt{3}}{3}r\] corrispondente al massimo cercato; pertanto le dimensioni ottimali della trave risultano: \[DE=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}r\quad EF=2y=\frac{2\sqrt{6}}{3}r\quad .\]
Massimo Bergamini