Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Carissimo professore,
ho delle titubanze con il teorema del confronto, potrebbe aiutarmi con alcuni esercizi? (pag.1470, nn. 418, 420, 421, Matematica.blu 2.0)
1) Applicando il teorema del confronto, verifica il seguenti limite:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=0\quad .\]
2) Dimostra che, date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), definite nello stesso dominio, tali che \(\left| f\left( x \right) \right|\le \left| g\left( x \right) \right|\) e \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\), allora \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\). Applica il risultato per dimostrare che \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0\).
3) Date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), definite nello stesso dominio, tali che \(\left| f\left( x \right) \right|\ge \left| g\left( x \right) \right|\) e \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty\), dimostra che \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, poiché per ogni \(x\ne 0\) vale la seguente disuguaglianza: \[0\le \left| \frac{\sin x}{x} \right|\le \frac{1}{x}\] e si ha \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,0=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0\), il teorema del confronto implica \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=0\), come volevasi dimostrare.
Nel secondo caso, in modo analogo, l’ipotesi \(\left| f\left( x \right) \right|\le \left| g\left( x \right) \right|\) implica che \[-\left| g\left( x \right) \right|\le f\left( x \right)\le \left| g\left( x \right) \right|\]e poiché \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\to \underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,\left| g\left( x \right) \right|=0\), ne consegue \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\). Poiché \(\left| \frac{\sin x}{x} \right|\le \left| \frac{1}{x} \right|\)e \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0\), resta dimostrato che \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0\).
Nell’ultimo caso, dall’ipotesi \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty\) consegue che per ogni \(M>0\) esiste un intorno di \(c\) tale che per ogni \(x\ne c\) di tale intorno (e appartenente al dominio di \(g\) e di \(f\)) si ha \(\left| g\left( x \right) \right|>M\), e dall’ipotesi \(\left| f\left( x \right) \right|\ge \left| g\left( x \right) \right|\) consegue che nello stesso intorno si ha anche \(\left| f\left( x \right) \right|>M\), il che equivale alla tesi, cioè che sia \(\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty\).
Massimo Bergamini