Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di spiegarmi questi problemi:
1) Nel trapezio isoscele \(ABCD\) la base maggiore \(AD\) è il triplo della minore. La parallela ad \(AB\) condotta da \(C\) interseca \(AD\) nel punto \(E\). Determina il rapporto dei solidi generati dalla rotazione del parallelogrammo \(ABCE\) e del triangolo \(CDE\) attorno a \(AD\).
2) Il trapezio rettangolo \(ABCD\) ha la base minore \(AB\) di \(12\;cm\), il lato obliquo \(BC\) di \(25\;cm\) e \(CD\) di \(19\;cm\). Preso sopra \(AD\) il punto \(P\) in modo che il segmento \(BP\) risulti uguale alla somma \(AB+PD\), determinare il perimetro del triangolo \(ABP\) e l’area della superficie ed il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il quadrilatero \(BCDP\) attorno ad \(AD\).
3) Nel trapezio rettangolo \(ABCD\) la base maggiore \(AB\) misura \(8a\), la minore è uguale al lato obliquo e l’altezza \(CH\) misura \(4a\): determinare il perimetro del trapezio. Sul prolungamento di \(BC\) si prenda un punto \(E\) in modo che i due solidi generati dalla rotazione del triangolo \(ABE\) e del trapezio \(ABCD\) attorno ad \(AB\) risultino equivalenti. Determinare il perimetro del triangolo \(ABE\).
4) Nel trapezio \(ABCD\) rettangolo in \(A\) e \(D\) la base minore \(CD\) è \(4\;cm\) ed il punto \(P\) di \(BC\) dista \(13\;cm\) da \(C\) e \(15\;cm\) da \(D\). La superficie del solido generato dalla rotazione del triangolo \(CDP\) attorno ad \(AB\) misura \(560\pi\; cm^2\). Determinare l’altezza del trapezio ed il perimetro del quadrilatero \(ABPD\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(x=AE=EF=FD=BC\) e \(y=BE=CF\), si ha che il volume \(V_1\) del solido generato dalla rotazione del triangolo \(CDE\) attorno a \(AD\) è \({{V}_{1}}=\frac{2}{3}\pi {{y}^{2}}x\), e poiché il volume \(V_2\) del solido generato dalla rotazione dell’intero trapezio è \({{V}_{2}}=\frac{5}{3}\pi {{y}^{2}}x\), si ha che il volume \(V_3\) del solido generato dalla rotazione del solo parallelogrammo \(ABCE\) è \({{V}_{3}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}}=\pi {{y}^{2}}x\), per cui \(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}=\frac{3}{2}\).
Nel secondo caso, poiché applicando il teorema di Pitagora si ottiene \(AD=24\;cm\), posto \(x=AP\) e \(y=PD\), si risolve il sistema di equazioni \(x+y=24\) e \(144+x^2=(12+y)^2\), da cui \(x=16\;cm\): ne consegue \(2{{p}_{ABP}}=48\,cm\). Detta \(S\) la superficie e \(V\) il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il quadrilatero \(BCDP\) attorno ad \(AD\), si ha: \[S=\left[ {{19}^{2}}\pi +\left( 12+19 \right)25\pi +12\cdot 20\pi \right]\,c{{m}^{2}}=1376\pi \,c{{m}^{2}}\] \[V=\left[ \frac{1}{3}24\left( {{19}^{2}}+{{12}^{2}}+12\cdot 19 \right)\pi -\frac{1}{3}16\cdot {{12}^{2}}\pi \right]\,c{{m}^{3}}=5096\pi \,c{{m}^{2}}\quad .\]
Nel terzo caso, posto \(x=DC=BC\), si ha \(HB=8-x\), per cui deve essere \(16{{a}^{2}}+{{\left( 8a-x\right)}^{2}}={{x}^{2}}\to x=5a\), da cui \(2{{p}_{ABCD}}=22a\). Quindi, posto \(y=EF\), detto \(V_1\) il volume del doppio cono generato dalla rotazione del triangolo \(ABE\) e detto \(V_2\) il volume del solido generato dalla rotazione del trapezio \(ABCD\), si ha: \[{{V}_{1}}=\frac{8a}{3}\pi {{\left( y+4a \right)}^{2}}=y={{V}_{2}}=96\pi {{a}^{3}}\to y=2a\] per cui, sfruttando la similitudine dei triangoli \(EFC\) e \(CHB\): \[EC=\frac{5}{4}2a=\frac{5}{2}a\to FC=GH=\frac{3}{2}a\to BE=\frac{15}{2}a,AG=\frac{7}{2}a\] e utilizzando Pitagora nel triangolo \(AGE\): \[AE=\sqrt{\frac{49}{4}+36}\,a=\frac{3\sqrt{17}}{2}a\to 2{{p}_{ABE}}=\frac{31+3\sqrt{17}}{2}a\quad .\]
Infine, nel quarto caso, posto \(y=DE\) e \(z=EA=PK\), si ha: \[225-{{\left( y-z \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{169-{{\left( y-z \right)}^{2}}}+4 \right)}^{2}}\to …\] \[…\to \sqrt{169-{{\left( y-z \right)}^{2}}}=5\to y=12+z\] pertanto, detta \(S\) la superficie del solido generato dalla rotazione di \(CDP\), si ha: \[S=\left[ 15\left( 12+2z \right)\pi +13\left( 12+2z \right)\pi +8\left( 12+z \right)\pi \right]\,c{{m}^{2}}=\left( 432\pi +64\pi z \right)\,c{{m}^{2}}\]e in base all’ipotesi si deve avere: \[\left( 432\pi +64\pi z \right)\,c{{m}^{2}}=560\pi \,c{{m}^{2}}\to z=2\,cm\] e quindi: \[PB=\frac{13}{12}PK=\frac{13}{6}\,cm,BK=\frac{5}{6}\,cm\to CH=DA=14\,cm\to 2{{p}_{ABPD}}=41\,cm\quad .\]
Massimo Bergamini