Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Carissimo professore,
ho delle difficoltà con alcuni limiti notevoli (pag.1528, nn. 296, 301, 303, 304, Matematica.blu 2.0), potrebbe aiutarmi? \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \frac{x}{6}+4x}{x}\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\arctan \left( 2\frac{\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x} \right)\] \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \ln \left( \tan x \right)-\ln \left( 2x \right) \right]\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+4x}{\sqrt{4+\sin x}-\sqrt{4-\sin x}}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso si tratta semplicemente di distribuire il limite sulla somma: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \frac{x}{6}+4x}{x}=\frac{1}{6}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \frac{x}{6}}{\frac{x}{6}}+4=\frac{1}{6}\cdot 1+4=\frac{25}{6}\quad .\] Nel secondo caso, moltiplichiamo e dividiamo per \(x^2\) l’argomento dell’arcotangente:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\arctan \left( 2\cdot \frac{\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\arctan \left( 2\cdot \frac{\cos x-1}{{{x}^{2}}}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{{{\sin }^{2}}x} \right)=\arctan \left( 2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)\cdot 1 \right)=-\frac{\pi }{4}\quad .\] Nel terzo caso, utilizziamo le proprietà dei logaritmi e il fatto che \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan x}{x}=1\): \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \ln \left( \tan x \right)-\ln \left( 2x \right) \right]=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{\tan x}{2x} \right)=\ln \frac{1}{2}\quad .\] Infine, nel quarto caso, moltiplichiamo entrambi i termini per la somma dei radicali che compaiono al denominatore: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+4x}{\sqrt{4+\sin x}-\sqrt{4-\sin x}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x+4 \right)\left( \sqrt{4+\sin x}+\sqrt{4-\sin x} \right)}{2\sin x}=\]\[=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+4 \right)\left( \sqrt{4+\sin x}+\sqrt{4-\sin x} \right)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4\cdot 4=8\quad .\]
Massimo Bergamini