Ricevo da Giovanna la seguente domanda:
Devo trovare l’ordine di infinitesimo per questa funzione, con \(x\to 1\):
\[y=\arcsin \left( {{x}^{2}}-1 \right)\tan \left( \pi x \right)\quad .\]
Non so da dove partire. Grazie.
Le rispondo così:
Cara Giovanna,
premesso che \(\arcsin x\) è un infinitesimo asintoticamente equivalente a \(x\) nel limite per \(x\to 0\), poiché, posto \(t=\arcsin x\to x=\sin t\): \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\sin t}=1\] dimostriamo che l’infinitesimo in questione è del \(2^\circ\) ordine rispetto a \((x-1)\) nel limite per \(x\to 1\), cioè che il seguente limite \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin \left( {{x}^{2}}-1 \right)\tan \left( \pi x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\] è finito e non nullo. Posto \({{x}^{2}}-1=\sin t\) per la funzione \(\arcsin \left( {{x}^{2}}-1 \right)\) e \(\pi(x-1)=p\) per la funzione \(\tan \left( \pi x \right)\), si ha: \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin \left( {{x}^{2}}-1 \right)\tan \left( \pi x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\sin t}\cdot \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\tan \left( \pi x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\]\[=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\sin t}\cdot \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\tan \left( \pi x \right)}{\left( x-1 \right)}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\sin t}\cdot \underset{p\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( p+2\pi \right)\tan \left( p+\pi \right)}{p}=1\cdot 2\pi \cdot 1=2\pi \] essendo \[\underset{p\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \left( p+\pi \right)}{p}=\underset{p\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan p}{p}=1\quad .\]
Massimo Bergamini