Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Egregio professore,
non riesco a risolvere l’indeterminazione nel seguente limite:
\[\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2x-1}}\quad .\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
si ha \[\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2x-1}}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x}-1}{\sqrt{2}\sqrt{2x-1}}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{\sqrt{2}\sqrt{2x-1}\left( \sqrt{2x}+1 \right)}=\]\[=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2}\left( \sqrt{2x}+1 \right)}=\frac{0}{2\sqrt{2}}=0\quad .\]
Massimo Bergamini