Ricevo da Linda la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a capire come ragionare su questo esercizio perchè la teoria non affronta questo caso particolare e non so appunto come ragionare…
In quanti modi possiamo mettere sei palline uguali in quattro urne in modo che nessuna risulti vuota?
Grazie
Le rispondo così:
Cara Linda,
si tratta di contare delle combinazioni con ripetizione, che possiamo affrontare come se si trattasse di un problema di anagrammi. Dette \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) le quattro urne, il problema di suddividere sei palline indistinguibili nelle quattro urne (distinguibili) senza lasciarne di vuote equivale a formare un numero di \(4\) cifre in cui la prima indica il numero di palline contenute in \(A\), la seconda il numero di palline contenute in \(B\), e così via, con il vincolo che le \(4\) cifre sommino sempre \(6\). Poiché vi sono solo due modi possibili di ottenere somma \(6\) da \(4\) addendi interi non nulli, cioè o \(6=1+1+1+3\) o \(6=1+1+2+2\), si tratta solo di contare in quanti modi si possano “anagrammare” le stringhe \(1113\) e \(1122\), cioè contare le permutazioni con ripetizione: nel primo caso, di \(4\) caratteri di cui \(2\) soli distinti, con frequenza \(3\) e \(1\) rispettivamente, quindi \(\frac{4!}{3!1!}=4\), nel secondo caso, di \(4\) caratteri di cui \(2\) soli distinti, con frequenza \(2\) e \(2\) rispettivamente, quindi \(\frac{4!}{2!2!}=6\). In totale, si hanno quindi \(4+6=10\) possibili modi distinti di distribuire le palline nelle scatole.
Massimo Bergamini