Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
chiedo un aiuto per questi poblemi.
1) In una sfera di raggio \(r\) sono inscritti due coni con la base in comune ed i vertici sugli estremi di un diametro. Sapendo che l’angolo di apertura di uno dei due coni è \(120^\circ\), calcolare l’area della superficie ed il volume del solido formato dall’insieme dei due coni.
2) In una circonferenza di raggio \(r\) sono tracciate dalla stessa parte del centro due corde parallele di lunghezza \(AB=r\sqrt{3}\) e \(CD=r\). Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa del trapezio \(ABCD\) attorno al diametro perpendicolare alle due corde.
3) Dato il settore circolare \(AOB\) di raggio \(r\) e ampiezza \(120^\circ\), sia \(C\) il punto medio dell’arco. Tracciati i raggi \(OD\) e \(OE\) da parte opposta di \(OC\) e formanti con esso angoli uguali di ampiezza \(30^\circ\), siano \(D’\) ed \(E’\) le proiezioni ortogonali di \(D\) ed \(E\) sulla tangente all’arco \(AB\) nel punto \(C\). Calcola l’area della superficie totale ed il volume del cilindro ottenuto dalla rotazione del rettangolo \(DD’E’E\) attorno ad \(OC\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, si osserva che la base comune ai due coni ha diametro \(AB=r\sqrt{3}\), e le rispettive altezze misurano \(\frac{r}{2}\) e \(\frac{3r}{2}\), per cui gli apotemi misurano rispettivamente \({{V}_{1}}B=r\) e \({{V}_{2}}B=\sqrt{3}r\). Otteniamo quindi i seguenti valori per la superficie \(S\) e il volume \(V\) del doppio cono: \[S=\pi r\frac{\sqrt{3}}{2}\left( r+\sqrt{3}r \right)=\pi {{r}^{2}}\frac{\left( 3+\sqrt{3} \right)}{2}\] \[V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}\pi {{r}^{2}}\left( 2r \right)=\frac{\pi {{r}^{3}}}{2}\quad .\]
Nel secondo caso, il solido generato è un tronco di cono con raggi delle basi rispettivamente \(\frac{\sqrt{3}}{2}r\) e \(\frac{r}{2}\), ed altezza \(\frac{\sqrt{3}}{2}r-\frac{r}{2}\), per cui il volume \(V\) è dato da:
\[\frac{1}{3}\pi r\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}\left( \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4} \right){{r}^{2}}=\frac{\pi {{r}^{3}}\left( 3\sqrt{3}-1 \right)}{24}\quad .\]
Nell’ultimo caso, si osserva che il raggio del cilindro 
è \(MD=\frac{r}{2}\) e l’altezza è \(MC=EE’=DD’=r-\frac{\sqrt{3}}{2}r\) per cui: \[S=2\frac{\pi {{r}^{2}}}{4}+2\pi \frac{r}{2}\left( r-\frac{\sqrt{3}}{2}r \right)=\frac{\pi {{r}^{2}}\left( 3-\sqrt{3} \right)}{2}\] \[V=\frac{\pi {{r}^{2}}}{4}\left( r-\frac{\sqrt{3}}{2}r \right)=\frac{\pi {{r}^{3}}\left( 2-\sqrt{3} \right)}{8}\quad .\]
Massimo Bergamini