Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gent.mo professore,
ho bisogno del suo aiuto per il seguente problema (pag.8, n.20, Verso la seconda prova di matematica).
Il fiume
Un geologo sta studiando il territorio che circonda un tratto di un fiume. Tale tratto forma un’ansa che può essere rappresentata dalla curva \(OA\) del grafico di \(f(x)=x+\sin(\pi x)\) nell’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\).
a. Traccia la curva \(OA\) nel riferimento \(Oxy\) e ricava l’equazione della retta \(OA\).
b. Ricava l’area del parallelogramma \(PQRS\) in cui risulta inscritta la curva \(OA\), cioè il parallelogramma che ha due lati tangenti alla curva e paralleli alla corda \(OA\) e due lati sulle rette di equazione \(x=0\) e \(x=2\).
c. Perché è garantita l’esistenza di almeno una delle rette tangenti alla curva parallele alla corda \(OA\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
dopo aver osservato che l’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) corrisponde ad un periodo della funzione \(\sin(\pi x)\), e che la funzione \(f(x)\) è continua e derivabile in \(\left[ 0;2 \right]\), con \(f(0)=0\) e \(f(2)=2\), e che \[f’\left( x \right)=1+\pi \cos \left( \pi x \right)=0\leftrightarrow\]\[\leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\vee {{x}_{2}}=2-\frac{1}{\pi }\arccos \left( -\frac{1}{\pi } \right)\] per cui il grafico presenta un massimo relativo in corrispondenza a \(x_1\) e un minimo relativo in corrispondenza a \(x_2\), si può tracciare un grafico plausibile della funzione, dopo aver osservato anche che tale grafico è necessariamente simmetrico rispetto al punto \((1;1))\), essendo infatti: \[2-y=2-x+\sin \left( \pi \left( 2-x \right) \right)\to y=x-\sin \left( 2\pi -\pi x \right)=x+\sin \left( \pi x \right)\quad .\]
Poiché la retta \(OA\) ha equazione \(y=x\), le tangenti al grafico che delimitano il parallelogramma \(PQRS\) devono avere pendenza \(1\): l’esistenza di almeno una di esse internamente all’intervallo \(\left[ 0;2 \right]\) è garantita dal teorema di Lagrange. Poniamo pertanto: \[f’\left( x \right)=1\to 1+\pi \cos \left( \pi x \right)=1\to \cos \left( \pi x \right)=0\to x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{3}{2}\] per cui le rette sono tangenti nei punti \(B\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\) e \(C\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\), e hanno equazioni \(y=x+1\) e \(y=x-1\): il parallelogramma ha base \(PS=2\) e altezza \(SQ=2\), per cui la sua area misura \(4\).
Massimo Bergamini