Ricevo da Viola la seguente domanda:
Buon giorno Professore,
ho riscontrato dei problemi nello svolgimento di questi integrali (Matematica.blu 2.0 pag.1978: nn.327,335, pag.1969: nn.181,182)
\[\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx\quad }\int{\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx\quad }\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx\quad }\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx\quad .}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Viola,
nei primi due casi si operano sostituzioni di varaiabile “miste”, cosiddette di Eulero, in modo da eliminare il termine quadratico; nel primo caso, poniamo: \[\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=t-3x\to 9{{x}^{2}}-1={{t}^{2}}-6xt+9{{x}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}+1}{6t}\to dx=\frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt\to \sqrt{9{{x}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}\] per cui: \[\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}\cdot \frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t}dt=}\frac{1}{3}\ln \left| t \right|+c=\ln \sqrt[3]{\left| 3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right|}+c\quad .\]
Nel secondo caso, la sostituzione è la seguente: \[\sqrt{{{x}^{2}}+3}=t-x\to {{x}^{2}}+3={{t}^{2}}-2tx+{{x}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}-3}{2t}\to dx=\frac{{{t}^{2}}+3}{2{{t}^{2}}}dt\to \sqrt{{{x}^{2}}+3}=\frac{{{t}^{2}}+3}{2t}\] per cui: \[\int{\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx}=\int{\frac{{{t}^{2}}-4t-3}{2t}\cdot \frac{2t}{{{t}^{2}}+3}\cdot \frac{{{t}^{2}}+3}{2{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{{{t}^{2}}-4t-3}{{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{2}t-2\ln \left| t \right|+\frac{3}{2t}c=\]\[\frac{1}{2}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+\frac{3}{2\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)}+c=\frac{{{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c=\]\[=\frac{\left( {{x}^{2}}+x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+3 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x \right)}{3}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c=\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2\ln \left| \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right|+c\quad .\]
Nel terzo caso, l’integrazione è immediata se si osserva che
\[\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx}=2\int{\frac{1}{2\sqrt{x}\left( 1+x \right)}dx}=2\int{D\left( \arctan \sqrt{x} \right)dx}=2\arctan \sqrt{x}+c\quad .\]
In modo analogo, nel quarto caso, si osserva che la funzione integranda è la derivata di una funzione composta:
\[\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{6}}}}dx}=\frac{1}{3}\int{D\left( \arcsin {{x}^{3}} \right)dx}=\frac{1}{3}\arcsin {{x}^{3}}+c\quad .\]
Massimo Bergamini