Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
le propongo un problema che non riesco a risolvere.
Il costo totale relativo alla produzione di un certo bene si può esprimere mediante la funzione \(C=0,15q^2+210q+3000\), dove \(q\) indica la quantità prodotta. Il prezzo unitario di vendita di tale bene dipende da \(q\) ed è espresso dalla relazione \(p=660-0,3q\). Determina la quantità da produrre per avere il massimo profitto.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
se indichiamo con \(P(q)\) il profitto in funzione della quantità prodotta, abbiamo che: \[P\left( q \right)=p\cdot q-C=\left( 660-0,3q \right)\cdot q-0,15{{q}^{2}}-210q-3000=-0,45{{q}^{2}}+450q-3000\] per cui, derivando \(P(q)\) e analizzando il segno della derivata nell’intorno del valore in cui questa si annulla, si ha: \[P’\left( q \right)=-0,9q+450\to P’\left( q \right)=0\leftrightarrow q=500\] valore che corrisponde al massimo cercato.
Massimo Bergamini