Una funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

mi può aiutare a risolvere questo problema?

Dato il segmento \(AB=1\) si conduca con centro in \(B\) una circonferenza di raggio minore a \(1\) e da \(A\) si conduca la tangente \(AT\) ad essa. Infine, da \(T\) si abbassi la perpendicolare \(TH\) ad \(AB\). Posto l’angolo \(B\hat{A}T\) uguale ad \(x\), si studi la funzione \(\frac{AH}{AB+HT}\) e se ne disegni il grafico e si discuta la seguente equazione: \[\frac{AH}{AB+HT}=m\] con \(m\) parametro reale.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione in questione è definita, nei limiti del problema, per \(0\le x\le \pi/2\), e poiché: \[AT=\cos x\quad HT=\cos x\sin x\quad AH={{\cos }^{2}}x\quad AB=1\] si ha: \[\frac{AH}{AB+HT}=\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x\sin x}=\]\[=\frac{1+\cos 2x}{2+\sin 2x}\quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\quad .\] Poiché la derivata della funzione (che nel suo dominio naturale è periodica di periodo \(\pi\)): \[\frac{-2\left( 1+2\sin 2x+\cos 2x \right)}{{{\left( 2+\sin 2x \right)}^{2}}}\]

si annulla solo in corrispondenza di \(x=\frac{\pi }{2}\) (minimo, di valore \(0\)) e \(x=\pi -\arcsin \left( \frac{4}{5} \right)\) (massimo, di valore \(\frac{4}{3}\)), nell’intervallo di interesse la funzione è monotona decrescente, da \(1\) a \(0\), pertanto l’equazione in questione ammette, per \(0\le x\le \pi/2\), una sola soluzione per ogni valore di \(m\) tale che \(0\le m\le 1\).

Massimo Bergamini