Problemi di trigonometria

Ricevo da Ettore la seguente domanda:
 
Caro professore,
chiedo un aiuto per questi problemi  (Manuale 2.0 di matematica, pag.901, n.377 e pag. 900, n.370).
 
1) Dati la circonferenza di diametro unitario e il quadrato \(ABCD\) in essa inscritto, considera il punto \(P\) sull’arco \(DC\), con \(P\hat{A}C=x\). Rappresenta la funzione \(f(x)=PA+PB+PC+PD\) in un periodo ed evidenzia la parte relativa al problema. Determina il valore massimo di tale funzione, indicando per quale valore di \(x\) si ottiene tale valore.
Discuti \(f(x)=m\), al variare di \(m\) in \(\mathbb{R}\).
Risolvi poi in \(\mathbb{R}\) la disequazione \(f(x)\ge 1\).
 
2) Nel trapezio rettangolo \(ABCD\) la base maggiore \(AB\) ha misura \(2\) e il lato obliquo \(BC\) misura \(4\). Determina l’angolo alla base \(A\hat{B}C\), sapendo che il perimetro misura \(8+2k\). Discuti al variare di \(k\) in  \(\mathbb{R}\).
 
Gli rispondo così:
 
Caro Ettore,
nel primo caso, con riferimento alla figura, osservando che, per il teorema della corda, \(P\hat{D}C\cong C\hat{B}P\cong P\hat{A}C\), possiamo ricavare, dato \(AC\cong DB=1\):           \[PA=\cos x\quad PB=\sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)\quad PC=\sin x\quad PD=\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\]da cui, tenendo conto che \[\sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)+\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\sqrt{2}\cos x\]si ha: \[f\left( x \right)=\left( 1+\sqrt{2} \right)\cos x+\sin x=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin \left( x+\frac{3}{8}\pi  \right),\quad 0\le x\le \frac{\pi }{4}\]come si può ricavare utilizzando la tecnica dell’angolo aggiunto. Il massimo di \(f(x)\), il cui valore è \(y=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\), si ottiene per \(x+3\pi /8=\pi /2\), cioè per \(x=\pi /8\). Poiché \(f\left( 0 \right)=f\left( \pi /4 \right)=1+\sqrt{2}\), si deduce dal grafico che \(f(x)=m\) ammette due soluzioni per \(1+\sqrt{2}\le m\le \sqrt{4+2\sqrt{2}}\), mentre \(f(x)\ge 1\) è risolta, al di là delle limitazioni geometriche del problema, per \(-\pi /4+2k\pi \le x\le \pi /2+2k\pi\).
Nel secondo caso, si osserva che, affinchè \(ABCD\) sia un trapezio, si deve avere \(\pi /3<x<\pi /2\), dopo di chè si ha: \[DC=2-4\cos x\quad AD=4\sin x\]per cui l’equazione richiesta è: \[2+4+2-4\cos x+4\sin x=8+2k\to\] \[\to 2\sin x-2\cos x-k=0\quad .\]Posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), si ottiene il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=X+k/2 \\ X^2+Y^2=1 \\ 0<X<1/2, \sqrt{3}/2<Y<1 \end{array} \right.\] da cui si ricava (vedi figura) che il problema ammette una e una sola soluzione per \(\sqrt{3}-1<k<2\).
 
Massimo Bergamini